Infinitud de números primos

La demostración mas antigua del teorema de que hay inifitud de números primos la publicó el matemático griego Euclides, en sus Elementos (Libro IX, Proposición 20).
Euclides demuestra que "hay mas números primos que un conjunto finito de números primos"

Teorema.
Hay infinitud de números primos.

Prueba.
Supongamos que $ p_1=2 < p_2 = 3 < ... < p_r $ son todos los números primos.
Si $ P = p_1 p_2 ... p_r + 1 $ y supongamos que $ p $ es un número primo que divide a $ P $, entonces $ p $ no puede ser ninguno de $ p_1, p_2, ..., p_r $ porque sino dividiría la diferencia $ P - p_1 p_2 ... p_r = 1 $, lo cual es imposible.
Así que $ p $ es otro número primo, y $ p_1, p_2, ..., p_r $ no pueden ser todos los primos.