Identidad de Euler

La identidad de Euler es:

$ e^{i \pi} + 1 = 0 $

La demostración es sencilla, partimos de las series de Taylor de las funciones exponencial y trigonométricas:

$ e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ... = \sum_{n=0}^\infty (\frac{x^n}{n!}) $

$ sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} \pm ... = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \cdot x^(2n+1)}{(2n+1)!} $

$ cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} \pm ... = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \cdot x^(2n)}{(2n)!} $

Generalizando para los números complejos, y considerando que $ i^2 = -1 $, $ i^3 = -i $, y $ i^4 = 1 $, podemos sustituir en la serie de $ e^x $:

$ e^(z \cdot i) = 1 + \frac{z \cdot i}{1!} + \frac{-z^2}{2!} + \frac{z^3 \cdot (-i)}{3!} + \frac{z^4}{4!} + ... $

$ \to e^(z \cdot i) = = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \cdot x^(2n+1)}{(2n+1)!} \cdot i + \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \cdot x^(2n)}{(2n)!} $

$ \to e^(z \cdot i) = i \cdot sin(z) + cos(z) $

Si hacemos $ z = \pi $ y considerando que $ sin(\pi) = 0 $ y $ cos(\pi) = -1 $, nos queda

$ e^(i \pi) + 1 = 0 $

Fuentes

Wikipedia - Identidad de Euler
Fórmula de Euler en Análisis Complejo