TP 6 Ej 14

Halle la ecuación cartesiana del plano normal a la curva $ C $ en $ A = (2,1,-4) $ si se sabe que los puntos de $ C $ pertenecen a la superficie de ecuación $ Z = X*Y-3X $, y que la proyección de $ C $ sobre el plano $ X,Y$ es la parábola de ecuación $ Y = X^2-3$.

$C:{[Z=X*Y-3X, (1)],[Y=X^2-3,(2)]}$

de $(2)$ en $(1)$
$ \to Z = X(X^2-3)-3X $
$ \to Z = X^3-3X-3X$
$ \to Z = X^3-6X $

Parametrizando $C$
$C(t) = (t, t^2-3, t^3-6t)$
derivando con respecto a $t$
$C'(t) = (1, 2t, 3t^2-6) $
en $A \ \ (t=2)$
$\to C'(2) = (1, 4, 6)$

Por lo tanto tenemos el punto $A$ y el vector normal $C'(2)$, reemplazando en la formula de plano:

$(X-2) + 4(Y-1) + 6(Z+4) = 0 $
O lo que es lo mismo
$\to X+4Y+6Z+18=0$