TP 7 Ej 3

Calcule la longitud de la trayectoria de una partícula que se mueve sobre la superficie de ecuación $ Z = X^2-4Y^2 $ desde el punto $(1,2,-15)$ hasta el $(3,1,5)$, si la proyección de su recorrido sobre le plano $X,Y$ es el segmento de puntos extremos $(1,2,0)$ y $(3,1,2)$

Recordemos que la fórmula de la longitud de la curva viene dada por

$ \int_a^b ||C'(t)|| dt $

Primero calculamos la ecuación de la recta de la proyección de la curva:
$(X,Y,Z) = (1,2,0) + \lambda(2,-1,0)$
$ \to X= 1 + 2\lambda$ $(1)$
$ Y = 2 - \lambda$ $(2)$
de $(1)$ $ \to \lambda = (X-1)/2$
En $(2)$ $ \to Y = 2 - (X-1)/2 $
$ \to Y = (5-X)/2 $ para todo $Z$.

En la ecuación de $Z$ :
$ Z = X^2-4((5-X)/2)^2 $
$ \to Z = 10X - 25 $

Por lo tanto ya podemos armar la ecuación paramétrica de la curva:
$C(t) = (t, (5-t)/2, 10t-25)$ con $(1<=t<=3)$
Derivando:
$C'(t) = (1, -1/2, 10)$
Obtenemos la norma
$||C'(t)|| = 9/2 \sqrt(5)$
Integrando
$ 9/2 \sqrt(5) \int_1^3 dx$
$ \to 9/2 \sqrt(5) *[3-1] $
$ \to 9\sqrt(5) $