Identidad de Euler

La identidad de Euler es:

$ e^{i \pi} + 1 = 0 $

La demostración es sencilla, partimos de las series de Taylor de las funciones exponencial y trigonométricas:

$ e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ... = \sum_{n=0}^\infty (\frac{x^n}{n!}) $

$ sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} \pm ... = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \cdot x^(2n+1)}{(2n+1)!} $

$ cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} \pm ... = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \cdot x^(2n)}{(2n)!} $

Generalizando para los números complejos, y considerando que $ i^2 = -1 $, $ i^3 = -i $, y $ i^4 = 1 $, podemos sustituir en la serie de $ e^x $:

$ e^(z \cdot i) = 1 + \frac{z \cdot i}{1!} + \frac{-z^2}{2!} + \frac{z^3 \cdot (-i)}{3!} + \frac{z^4}{4!} + ... $

$ \to e^(z \cdot i) = = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \cdot x^(2n+1)}{(2n+1)!} \cdot i + \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \cdot x^(2n)}{(2n)!} $

$ \to e^(z \cdot i) = i \cdot sin(z) + cos(z) $

Si hacemos $ z = \pi $ y considerando que $ sin(\pi) = 0 $ y $ cos(\pi) = -1 $, nos queda

$ e^(i \pi) + 1 = 0 $

Fuentes

Wikipedia - Identidad de Euler
Fórmula de Euler en Análisis Complejo

Pi

Para calcularlo:

$ \frac{\pi^2}{6} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} $

Es decir

$ \frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + ... $

O con los números primos:

$ \frac{6}{\pi^2} = \prod_(k=1)^\infty (1- \frac{1}{p_k^2}) $ para todo $ p_k \in \mathbb{P} $

Es decir

$ \frac{6}{\pi^2} = (1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})(1-\frac{1}{5^2})(1-\frac{1}{7^2})(1-\frac{1}{11^2}) ... $

Fuentes:

Curiosidades Matemáticas
Collection of series for Pi

Infinitud de números primos

La demostración mas antigua del teorema de que hay inifitud de números primos la publicó el matemático griego Euclides, en sus Elementos (Libro IX, Proposición 20).
Euclides demuestra que "hay mas números primos que un conjunto finito de números primos"

Teorema.
Hay infinitud de números primos.

Prueba.
Supongamos que $ p_1=2 < p_2 = 3 < ... < p_r $ son todos los números primos.
Si $ P = p_1 p_2 ... p_r + 1 $ y supongamos que $ p $ es un número primo que divide a $ P $, entonces $ p $ no puede ser ninguno de $ p_1, p_2, ..., p_r $ porque sino dividiría la diferencia $ P - p_1 p_2 ... p_r = 1 $, lo cual es imposible.
Así que $ p $ es otro número primo, y $ p_1, p_2, ..., p_r $ no pueden ser todos los primos.

Mandelbrot

El dibujito es el Mandelbrot Set.

Curious

Algo curioso que leí en www.curiousmath.com

$(sum_(i=1)^n n )^2 = sum_(i=1)^n n^3 $

Ejemplo:

$ (1 + 2 + 3 + 4 + 5)^2 = 225 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 $

Init

Esta es una página de prueba, como dijo Einstein $E=mc^2$.

Remember to surround formulas with left-quotes or \$-signs:
`sum_(i=1)^n i=(n(n+1))/2` and $int_0^(pi/2) sinx\ dx=1$.

Note: this page uses relative links to ASCIIMathML.js and pmathml.xsl,
so these files should be in the same folder as this file.

Test $\frac{d}{dx}f(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$